생각하는 중등수학 ⑯
함수는 왜 구간마다 달라질까?
함수를 배우다 보면 어느 순간 이런 식을 만난다.
- 이 구간에서는 이 규칙
- 저 구간에서는 다른 규칙
갑자기 함수가 한 사람이 아니라 여러 사람처럼 행동한다.
왜 굳이 이렇게 나눠야 할까?
하나의 규칙으로는 부족해진 순간
처음 배운 함수들은 대체로 단순했다.
- 언제나 같은 방식으로
- 어디서나 같은 규칙으로
하지만 현실은 그렇지 않다.
- 일정 구간까지는 무료
- 그 이후부터는 요금 부과
- 특정 시점 이후에만 변화 발생
이런 상황은 하나의 규칙으로 설명되지 않는다.
구간은 ‘경계’를 의미한다
함수가 구간을 나눈다는 건 이런 뜻이다.
여기까지는 괜찮고, 여기서부터는 달라진다
그래서 구간에는 항상 경계가 등장한다.
- 포함되는가
- 제외되는가
- 이어지는가
- 끊기는가
이 작은 차이가 함수의 성격을 바꾼다.
구간별 함수는 타협의 결과다
수학은 현실을 단순하게 만들고 싶어 한다.
하지만 현실이 너무 복잡할 때 수학은 이렇게 말한다.
“그럼 나누자.”
- 한 덩어리로 안 되면
- 여러 덩어리로 나누고
- 각자 가장 단순한 규칙을 쓰자
구간별 함수는 복잡함을 관리하는 방법이다.
그래프는 솔직해진다
구간별 함수의 그래프는 가끔 어색해 보인다.
- 갑자기 꺾이고
- 중간에 끊기고
- 점이 비어 있기도 한다
하지만 그 어색함은 함수가 거짓말을 하지 않는다는 증거다.
현실의 변화가 끊기면, 그래프도 끊긴다.
연속과 불연속을 생각하게 된다
구간이 나뉘면 자연스럽게 이런 질문이 생긴다.
- 경계에서 값은 무엇인가?
- 양쪽에서 다가오면 같을까?
- 이어진다고 말할 수 있을까?
이 질문들이 모여 연속성이라는 개념이 생긴다.
구간별 함수는 연속을 이해하기 위한 출발점이다.
규칙이 바뀐다는 것의 의미
규칙이 바뀐다는 건 무질서해진다는 뜻이 아니다.
오히려 이렇게 말할 수 있다.
각 구간에서 가장 잘 맞는 규칙을 쓴다
함수는 현실을 흉내 내기 위해 규칙을 나눈다.
생각하는 중등수학
이 글은 구간별 함수를 계산하는 법을 말하지 않는다.
대신 이런 질문을 남기고 싶다.
왜 수학은 하나의 규칙을 끝까지 고집하지 않았을까?
구간별 함수는 수학이 현실을 포기한 흔적이 아니라, 현실을 존중한 선택이다.
앞으로도 이 시리즈에서는 그 선택들이 왜 필요했는지를 천천히 따라가 보려 한다.
다음 글 예고
생각하는 중등수학 ⑰ — 좌표는 왜 음수까지 확장됐을까?
공간에도 ‘마이너스’가 필요해진 순간에 대해.