생각하는 중등수학 ⑮
함수의 그래프는 왜 그렇게 생겼을까?
함수를 배우다 보면 이런 장면을 자주 마주한다.
- 식은 간단한데
- 그래프는 묘하게 휘어 있고
- 어떤 건 곧고, 어떤 건 굽어 있다
문득 이런 질문이 든다.
왜 식 하나가 저런 ‘모양’을 갖게 될까?
그래프는 ‘값’이 아니라 ‘변화’를 그린다
그래프를 볼 때 우리는 종종 점만 본다.
- 이때의 y 값
- 저때의 y 값
하지만 그래프의 핵심은 점이 아니다.
그래프는 x가 변할 때 y가 어떻게 변하는지를 그린다
그래서 그래프는 항상 ‘모양’을 갖는다.
직선은 변화가 일정할 때
먼저 가장 익숙한 경우다.
- x가 1 늘어나면
- y도 항상 같은 양만큼 늘어난다
이때 그래프는 직선이 된다.
직선은 이렇게 말한다.
“변화가 변하지 않는다.”
곡선은 변화가 변할 때
그런데 어떤 함수는 다르다.
- 처음엔 천천히 변하다가
- 점점 빠르게 변하거나
- 중간에 방향을 바꾸기도 한다
이때 그래프는 직선을 벗어나 곡선이 된다.
곡선은 이렇게 말한다.
“변화 자체가 변하고 있다.”
모양은 식의 성격이다
그래프의 모양은 우연이 아니다.
- 제곱이 들어가면
- 곱셈이 겹치면
- 나눗셈이 등장하면
각각의 식은 자기만의 방식으로 변화를 만들어낸다.
그래프는 그 성격이 눈에 보이는 결과다.
연속적인 이유
중등수학의 그래프는 대부분 끊기지 않는다.
왜일까?
우리가 다루는 함수들은 대개 이런 가정을 갖고 있다.
x를 조금 바꾸면 y도 조금만 바뀐다
이 성질이 그래프를 부드럽게 만든다.
그래서 그래프는 점의 모음이 아니라 선처럼 보인다.
그래프는 이야기를 요약한다
그래프 한 장에는 많은 정보가 담긴다.
- 어디서 증가하는지
- 어디서 감소하는지
- 얼마나 빠른지
- 어디서 방향이 바뀌는지
그래프는 식을 계산하지 않고도 이야기를 읽게 해준다.
그래서 우리는 그래프를 그린다
식만으로는 한눈에 보이지 않는 것들이 있다.
그래프는 그 복잡함을 형태로 압축한다.
- 계산은 줄이고
- 이해는 늘리고
- 비교는 쉽게 한다
그래프는 생각을 돕는 도구다.
생각하는 중등수학
이 글은 그래프를 정확히 그리는 법을 말하지 않는다.
대신 이런 질문을 남기고 싶다.
왜 수학은 변화를 ‘모양’으로 보여주려 했을까?
그래프는 답을 장식하기 위한 그림이 아니라, 변화를 바라보는 또 하나의 언어다.
앞으로도 이 시리즈에서는 그 언어가 왜 필요했는지를 천천히 따라가 보려 한다.
다음 글 예고
생각하는 중등수학 ⑯ — 함수는 왜 구간마다 달라질까?
하나의 규칙으로 설명할 수 없는 순간들에 대해.