생각하는 중등수학 ③
나머지는 실패한 계산일까?
어릴 때부터 이런 말을 자주 들었다.
“딱 떨어지게 계산해야지.” “나머지가 있네? 다시 해봐.”
어딘가 모르게 나머지는 미완성, 끝내지 못한 계산처럼 느껴진다.
하지만 정말 그럴까?
우리가 기대하는 계산
나눗셈을 배우면서 우리는 이런 결과에 익숙해진다.
12 ÷ 3 = 4깔끔하다. 나눴고, 끝났고, 남은 게 없다.
그래서 자연스럽게 이런 기대가 생긴다.
“계산은 끝나야 한다.”
그런데 현실은 딱 떨어지지 않는다
문제를 조금만 바꾸면 바로 걸린다.
13 ÷ 3 = ?아무리 나눠도 3씩 묶다 보면 하나가 남는다.
- 3 + 3 + 3 + 3 = 12
- 그리고 1이 남는다
이때 등장하는 게 바로 나머지다.
나머지는 실패가 아니라 기록이다
여기서 관점을 바꿔보자.
나머지는 계산이 멈춘 지점이 아니다.
지금 조건에서 더 이상 나눌 수 없다는 상태를 정확하게 기록한 결과다.
- 틀린 게 아니다
- 덜 푼 게 아니다
- 포기한 것도 아니다
👉 현실을 끝까지 반영한 계산이다.
“그럼 소수로 하면 되잖아요?”
맞다. 우리는 이렇게도 말한다.
13 ÷ 3 = 4.333...하지만 이건 다른 약속을 선택한 것일 뿐이다.
- 나머지를 남길 것인가
- 소수로 계속 나눌 것인가
둘 다 맞다. 다만 어디까지 표현할지의 선택이 다르다.
나머지가 더 중요한 순간들
현실에서는 오히려 나머지가 더 중요할 때도 많다.
- 13명을 3명씩 태우면 → 마지막에 1명은 못 탄다
- 10시부터 3시간씩 반복하면 → 몇 시에 끝나는지는 나머지로 결정된다
이럴 때 소수는 도움이 안 된다.
👉 결정은 나머지가 한다.
나머지는 질문을 남긴다
나머지가 있다는 건 이런 질문을 남긴다는 뜻이다.
- 이 조건이 맞는가?
- 단위를 바꿔야 하는가?
- 규칙을 바꿔야 하는가?
그래서 나머지는 계산의 끝이 아니라 생각의 시작점이 된다.
생각하는 중등수학
이 글은 “나머지는 이렇게 정의된다”를 말하지 않는다.
대신 이런 시선을 남기고 싶다.
딱 떨어지지 않는다는 건 계산이 틀렸다는 뜻일까, 아니면 현실이 복잡하다는 뜻일까?
중등수학의 많은 개념은 현실이 깔끔하지 않다는 사실에서 시작된다.
- 음수
- 나머지
- 분수
- 근삿값
앞으로도 이 시리즈에서는 그 불편한 지점을 그대로 바라보려 한다.
다음 글 예고
생각하는 중등수학 ④ — 비율은 왜 곱해서 비교할까?
나누는 대신 곱하는 순간, 계산의 관점이 바뀐다.