생각하는 중등수학 ④
비율은 왜 곱해서 비교할까?
이런 문제를 한 번쯤은 풀어봤을 것이다.
A는 3개 중 2개를 맞혔고 B는 5개 중 3개를 맞혔다
누가 더 잘했을까?
처음엔 이렇게 생각한다.
- A는 2개
- B는 3개 → B가 더 잘한 것 같아 보인다
그런데 곧 이상해진다. 조건이 다르다.
단순한 개수 비교의 한계
개수만 보면 간단하다.
- 2 < 3
하지만 전체가 다르다.
- A: 2 / 3
- B: 3 / 5
이제 질문이 바뀐다.
“전체가 다른 두 결과를 어떻게 공정하게 비교할까?”
가장 먼저 떠오르는 생각
보통은 이렇게 해본다.
- 2 ÷ 3
- 3 ÷ 5
소수로 바꾸고 값을 비교한다.
가능한 방법이다. 하지만 중등수학에서는 갑자기 다른 선택을 한다.
왜 갑자기 곱할까?
교과서에서는 이렇게 말한다.
2 × 5 와 3 × 3 을 비교하자
처음 보면 납득이 잘 안 된다.
- 왜 나눗셈을 하다가
- 갑자기 곱셈을 하지?
기준을 같게 만드는 방법
여기서 핵심은 비교의 기준이다.
A와 B는 전체가 다르기 때문에 직접 비교할 수 없다.
그래서 수학은 이렇게 선택한다.
전체를 같게 만들자
- A: 2 / 3 → 전체를 15로 만들면 → 10 / 15
- B: 3 / 5 → 전체를 15로 만들면 → 9 / 15
이제는 비교가 가능하다.
- 10 > 9 → A가 더 높다
곱셈은 지름길이다
그 과정을 한 번에 줄인 게 바로 이거다.
- 2 × 5
- 3 × 3
공통 분모를 만드는 과정을 곱셈 하나로 압축한 것이다.
그래서 비율 비교에서 곱셈은 꼼수가 아니라 생각을 줄인 표현이다.
비율은 ‘관계’를 보는 숫자다
여기서 중요한 건 이 점이다.
- 비율은 개수가 아니다
- 크기도 아니다
👉 관계다.
- 전체 대비 얼마나 차지하는가
- 기준에 비해 어느 정도인가
그래서 비율은 항상 비교와 함께 등장한다.
나누지 않아도 되는 이유
우리는 종종 “왜 굳이 곱해요?”라고 묻는다.
그 질문을 이렇게 바꿔보자.
“어떻게 하면 같은 기준으로 볼 수 있을까?”
곱셈은 그 질문에 대한 가장 간단한 답이다.
생각하는 중등수학
이 글은 비율 계산법을 설명하려는 글이 아니다.
대신 이런 질문을 남기고 싶다.
수학은 언제 계산보다 비교를 더 중요하게 생각했을까?
중등수학의 많은 개념은 “어떻게 계산할까”보다 “어떻게 바라볼까”에서 시작된다.
- 나머지
- 음수
- 비율
- 평균
앞으로도 이 시리즈에서는 그 시선을 하나씩 따라가 보려 한다.
다음 글 예고
생각하는 중등수학 ⑤ — 평균은 왜 믿으면 안 될까?
대표값 하나로 모든 걸 설명할 수 있을까?